МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ «ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА»
ІКТА
Кафедра ЗІ
/
ЗВІТ
До лабораторної роботи №3
ІТЕРАЦІЙНІ МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ СИСТЕМ
ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ
Варіант №13
1. Мета роботи
Ознайомлення з ітераційними методами розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь.
2. Завдання
Розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь методами простої ітерації або Зейделя.
,
Варіант
Метод
К, Р
13
Зейделя
2,1
Метод Зейделя
Є система лінійних алгебраїчних рівнянь, що зведена до нормального вигляду
.
Тоді за методом Зейделя, вибираючи вектор початкових наближень
(як правило, це стовпець вільних членів ), уточнення значень невідомих проводять наступним чином:
1) перше наближення:
2) k + 1 наближення
k = 0, 1, 2, … .
Таким чином ітераційний процес подібний до методу простих ітерацій, однак уточнені значення одразу ж підставляються в наступні рівняння:
– метод Зейделя.
Іншими словами, метод Зейделя відрізняється від методу простої ітерації тим, що при обчисленні на “k+1”-му кроці враховуються значення , , , обчислені на цьому самому кроці.
Слід сподіватись, що ітерації за методом Зейделя дадуть при тому ж числі кроків більш точні результати, ніж за методом простої ітерації. Або така ж точність буде досягнута за менше число кроків, оскільки чергові значення невідомих визначаються тут більш точно ітераційний процес припиняється.
Якщо візьмемо систему
для якої точний розв’язок
Обчислення проведемо згідно формул:
.
За початкове наближення вибираємо вектор
Результати обчислень наведемо в таблиці:
Ітерації
Метод простої ітерації
Метод Зейделя
х1
х2
х3
х1
х2
х3
0
0
0
0
0
0
0
1
2
3
4
5
6
1,0000
1,2750
1,1287
1,0187
0,9882
0,99105
1,5000
1,2000
1,0342
0,9922
0,98373
0,99547
0,4000
0,7600
0,9590
1,0394
1,0195
1,0056
1,0000
1,0500
0,9896
1,0010
1,0000
1,3333
0,9473
1,0050
0,9999
1,0000
1,1333
0,9889
0,9999
1,0000
1,0000
Достатні умови збіжності ітераційного методу Зейделя
для всіх
і якщо хоча б для одного і ця нерівність строга
.
Текст програми
using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;
using System.Text;
using System.Threading.Tasks;
namespace ConsoleApplication25
{
class Zeidel
{
public int k = 2, p = 1, kil;
public double s, b, rez, E;
public double[] x0 = new double[4];
public double[] x1 = new double[4];
public double[] e = new double[4];
static public double[,] a;
public double[,] alpha;
public double[] beta;
public void Initialization()
{
s = 0.2 * k;
b = 0.2 * p;
E = 0.0001;
a = new double[,]{ { 30.3, (12.62+s), 4.1, 1.9, (-10.55+b)},
{3.92, 8.45, (1.78-s), 1.4, 12.21},
{3.77, (1.21+s), 8.04, 0.28, 15.45-b},
{2.71, (3.65-s), 1.69, 9.99, (-8.35)}};
alpha = new double[a.GetLength(0), a.GetLength(0)];
beta = new double[a.GetLength(0)];
}
public void Rozrahunky()
{
for (int i = 0; i < a.GetLength(0); i++)
{
for (int j = 0; j < a.GetLength(0); j++)
{
if (i != j)
alpha[i, j] = -(a[i, j] / a[i, i]);
}
}
for (int i = 0, j = (a.GetLength(1) - 1); i < a.GetLength(0); i++)
beta[i] = (a[i, j] / a[i, i]);
for (int i = 0; i < beta.GetLength(0); i++)
x0[i] = beta[i];
do
{
for (int i = 0; i < alpha.GetLength(0); i++)
{
x1[i] = beta[i];
for (int j = 0; j < alpha.GetLength(0); j++)
x1[i] = x1[i] + x0[j] * alpha[i, j];
e[i] = Math.Abs(x1[i] - x0[i]);
...
